Teorema de Siegel

Abstract

Expone una prueba del teorema de Siegel y se muestra algunas aplicaciones. El problema de la linealización de ecuaciones diferenciales ordinarias complejas es importante en el estudio de los sistemas dinámicos complejos. Dicho problema, el de linealizar un campo vectorial Z ∈ X(U) que tiene al origen como singularidad aislada es equivalente a encontrar un bihomolorfismo H definido en alguna vecindad del origen que cumpla H′(Z) · Z(z) = A(H(z)) , donde A = Z′(0) es la parte lineal del campo Z. A finales del siglo XIX Poincaré resolvió este problema bajo ciertas condiciones sobre los autovalores de la parte lineal del campo que se quiere linealizar. Sin embargo, dicha condición no era la ´optima pues existen campos que son linealizables que no cumplen la condición de Poincaré. Décadas más tarde Siegel introdujo una condición la cual abarca a la de Poincaré y además como se muestra en el trabajo es una condición buena pues el conjunto de matrices que no cumplen dicha condición tiene medida nula. En el primer capitulo, se muestra los preliminares para seguir este trabajo de tal manera que el contenido del mismo sea autocontenido, sin embargo conceptos básicos de análisis complejo y algebra lineal se darán por conocidos. En el segundo se prueba que la no resonancia de la parte lineal es suficiente para que la linealización sea posible, pero solo de manera formal. En el tercer capítulo se da la prueba del teorema de Siegel dada por Arnold, la cual utiliza técnicas de análisis funcional. Por ´ultimo se muestra algunas aplicaciones de este teorema y se menciona la condición de Bruno que supera a la de Siegel por lo que estos resultados se pueden seguir ampliando.