La teoría de Fredholm en las ecuaciones integrales

Abstract

En el presente trabajo, iniciamos nuestro estudio con las ecuaciones integrales de Fredholm de segunda especie, tratando con métodos de resolución y considerando un núcleo cuadrado integrable. La estructura iterativa de los núcleos y la definición del núcleo resolvente, que posteriormente se demostrará que es una función analítica que converge uniformemente, desempeñan un papel fundamental en nuestro análisis, permitiéndonos demostrar el Teorema de la Alternativa de Fredholm, resultado central en la primera parte de esta investigación, la cual garantiza la existencia de solución para dichas ecuaciones bajo ciertas condiciones. Posteriormente, nos enfocamos en el caso de núcleos continuos, donde la existencia y unicidad de solución de la ecuación integral se aborda mediante el Determinante de Fredholm, definido como una serie de potencias que converge uniformemente. Aquí sería clave el estudio de los operadores compactos y el teorema de Arzelá Ascoli, para en primera instancia demostrar que el operador integral con núcleo continuo es compacto y de esa manera llegar al teorema de la Alternativa de Fredholm, visto de un enfoque más teórico. Asimismo, para nuestros propósitos, estudiamos al primer menor de Fredholm e introducimos la función analítica D(λ) cuyas raíces están directamente relacionadas con los autovalores del operador integral T con núcleo K(x, y) , estableciendo de esta manera una conexión entre las propiedades analíticas del determinante y la teoría espectral.