Nuevos enfoques en el teorema de Pick: Extensiones en dimensiones superiores y su relevancia en la geometría de redes

Abstract

El teorema de Pick, que calcula el área de un polígono simple en una red planar, ha sido ampliamente extendido y generalizado, incluso en el plano. No obstante, las ge- neralizaciones en dimensiones superiores, aunque menos conocidas, ofrecen un campo de estudio igualmente fascinante y relevante. Esta tesis tiene un doble objetivo: por un lado, presentar nuevas generalizaciones del teorema de Pick en dimensiones superiores, ampliando el conocimiento existente; y por otro, compilar exhaustivamente las genera- lizaciones conocidas para ofrecer una visión integral del tema.

Además, el estudio explora las relaciones entre los puntos de una red en un polie- dro reticular, lo que permite descubrir nuevas fórmulas del tipo Pick, poco divulgadas previamente. Estas aportaciones no solo enriquecen la teoría, sino que también abren nuevas aplicaciones en la geometría discreta y en el análisis de volúmenes de poliedros reticulares.

Creemos que difundir este conocimiento ayudará popularizar la metodología para calcular el volumen de un poliedro reticular P a partir de la información codificada en la red y en la estructura de teselacio´n del espacio generado por dicha red. Esta aproximación, rica en teoría, también tiene un gran potencial en diversas ´áreas de la matemática y la física.