Existencia de infinitas soluciones para una clase de ecuaciones elípticas indefinidas vía el método de la variedad de Nehari

Abstract

Este trabajo estudia la existencia de infinitas soluciones no triviales para ecuaciones elípticas no lineales mediante el método variacional basado en la variedad de Nehari, el cual permite obtener soluciones de tipo ground state a través de la minimización del funcional de energía sobre una restricción natural; para ello, se consideran ecuaciones del tipo −Δu − λu = f(x,u), en Ω, con u = 0 en ∂Ω (P), donde Ω ⊂ R^N, N ≥ 2 y λ < λ₁, siendo λ₁ el primer autovalor de −Δ en Ω; asimismo, se analiza su versión asociada al operador p-laplaciano y se estudia el problema en todo el espacio dado por −Δu + V(x)u = f(x,u), en R^N, con la condición u(x) → 0 cuando |x| → +∞ (R), donde V es un potencial continuo; además, se aborda la variedad de Nehari generalizada propuesta por Szulkin y Weth, la cual extiende el método clásico a problemas indefinidos mediante una descomposición ortogonal del espacio de Hilbert y un funcional del tipo Φ(u) = (1/2)||u⁺||² − (1/2)||u⁻||² − I(u), empleándose esta formulación para garantizar la existencia de soluciones de tipo ground state para el problema (P) en el caso λ ≥ λ₁.