Teorema de Mazur - Ulam, Problema de Aleksandrov e isometrias en espacios normados no arquimedianos

Abstract

En este proyecto de investigación se estudian las isometrías entre espacios normados no arquimedianos, con aplicaciones en áreas como la teoría de números p-ádicos, el análisis funcional no arquimediano y la geometría algebraica. Se analiza como las transformaciones que preservan distancias (isometrías) se comportan en estos espacios, y se demuestra que el Teorema de Mazur-Ulam, válido en espacios normados reales, no se cumple en los no arquimedianos. Además, se aborda el Problema de Aleksandrov, demostrando que en un espacio normado finito-dimensional E sobre un campo no arquimediano K, una aplicación de Lipschitz con preservación fuerte de la distancia unitaria es una isometría si y solo si K es localmente compacto. Finalmente, se demuestra que toda isometría en un espacio normado finito-dimensional es sobreyectiva si y solo si el campo K es esféricamente completo y el cardinal del campo residual k es finito, lo que establece una conexión entre las propiedades algebraicas y topológicas del campo K y el comportamiento de las isometrías en estos espacios.